Valeurs remarquables du sinus et du cosinus

1. Sinus et cosinus de \(\boldsymbol{\dfrac{\pi}{4}}\)

Soit \(\text{M}\)  le point du cercle trigonométrique image du réel  \(\dfrac{\pi}{4}\)  et  \(\text{H}\)  son projeté orthogonal sur  \([\text{OI}]\) .

   a. Quelle est la nature du triangle  \(\text{OHM}\)  ?
   b. Expliquer pourquoi on a \(\text{OH}^2=\dfrac1 2\) . 

   c. En déduire les valeurs exactes de  \(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\)  et  \(\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\) . 

2. Sinus et cosinus de \(\boldsymbol{\dfrac{\pi}{3}}\) et de     \(\boldsymbol{\dfrac{\pi}{6}}\)

Soit \(\text{N}\)  le point du cercle trigonométrique image du réel  \(\dfrac{\pi}{3}\)     et  \(\text{H}\)  son projeté orthogonal sur  \([\text{OI}]\) .​​​

   a. Quelle est la nature du triangle   \(\text{ONI}\)  ?
   b. Justifier que \(\text{OH}=\text{HI}\) puis donner la valeur de \(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\) .
   c. En déduire la valeur exacte de de  \(\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\) .
   d. En considérant le triangle rectangle \(\text{OHN}\) , déduire les valeurs exactes de \(\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\)  et  \(\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\) . 

3. Récapituler les résultats dans le tableau suivant.